Una questione di fondamenti

Giovanni Laginestra

Su cosa si basa la matematica? Quali sono le sue fondamenta? Chi ci garantisce che 2+2 faccia sempre 4 e non, come il titolo di una famosa canzone dei Radiohead, 5?

Tali questioni sono state affrontate sin dalla antichità. Aristotele, per esempio, distingueva l’opinione, doxa, dalla conoscenza scientifica, episteme, che opera per deduzione e presuppone la conoscenza dei principi, che vengono colti per intuizione.

Ma chi garantisce la solidità di tali principi? Che non siano fragili, come sosteneva Karl Popper, come palafitte su di una palude?

Per il filosofo infatti ‘La scienza non posa su un solido strato di roccia. L’ardita struttura delle sue teorie si eleva, per così dire, sopra una palude. È come un edificio costruito su palafitte.’

Negli ultimi vent’anni dell’Ottocento tuttavia, si inaugurò un lungo periodo di circa cinquant’anni, chiamato crisi dei fondamenti, nel quale rinacque l’interesse per i principi primi della matematica, quali l’aritmetica e la geometria. I nomi che vanno ricordati sono tanti, tra i quali Moritz Pasch, Giuseppe Peano, Mario Pieri, David Hilbert e Kurt Godel.

Il matematico Moritz Pasch si occupò principalmente di fondamenti della geometria nella sua carriera, materia di cui voleva darne una sistemazione assiomatica. Infatti la critica che muoveva Pasch era che i geometri si affidavano troppo all’intuizione fisica, il che porta a risultati sorprendenti e non intuitivi come il principio di dualità, che mostra come punti e rette siano intercambiabili. Invece egli sostenseva che una dimostrazione matematica dovesse essere basata esclusivamente su una serie di assiomi formali. Il fondamento empirico della geometria fu racchiuso da Pasch in un nucleo di concetti di base e affermazioni o assiomi di base. Dagli assiomi e gli elementi di base (punti, segmenti, parti di piano), Pasch deduceva i teoremi, ottenendo gli stessi risultati di Klein sulle geometrie euclidee e non euclidee.

Le idee di Pasch ebbero una incredibile risonanza, soprattutto in Italia, dove Giuseppe Peano era pronto a tender l’orecchio alle idee del matematico polacco. Nel 1889 , l’eccentrico matematico che insegnava Logica nei corsi di Calcolo infinitesimale, pubblicò un opuscolo di circa 40 pagine in cui esponeva su base logica i concetti di geometria elementare.

Peano partendo dai concetti di punto e retta limitata, definiva la retta illimitata, il piano e le parti di spazio. Inoltre distingue gli assiomi dai teoremi. Per quanto riguarda i propositi di Peano egli dichiara di volersi limitare a ritrovare deduttivamente le proposizioni principali della geometria di posizione, ossia quelle che riguardano le relazioni di appartenenza e di ordine.

Un altro grandissimo matematico italiano fu Mario Pieri che in tre note Sui principi che reggono la geometria di posizione istituì un sistema assiomatico per la geometria proiettiva con tre termini non definiti, punti, linee e segmenti. Nel testo Pieri dichiara: In uno studio recente “Sui principi che reggono la Geometria di Posizione” ho proposto diciannove postulati atti a fondare l’ordinaria Geometria Projettiva come scienza deduttiva astratta, indipendente da ogni altro corpo di dottrine matematiche o fisiche, e in particolare dagli assiomi, od ipotesi, della Geometria elementare euclidèa; e successivamente ho mostrato che essi sono realmente sufficienti agli scopi della pura Geometria di posizione («costruirende Geometrie»), poiché se ne deduce la rappresentazione dei punti projettivi mediante coordinate. Pieri fu invitato a Parigi al congresso internazionale dei matematici nel 1900, dove presentò un documento sulla geometria come un sistema puramente logico, con il quale impressionò i partecipanti.

David Hilbert, con I suoi Fondamenti della Geometria, è considerato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Le condizioni prescritte nei 20 assiomi, incluso l’Assioma di Completezza, permettevano di rifondare in modo rigoroso e formale la geometria euclidea. Hilbert a differenza di Euclide però non si basa sull’intuizione. Tutte le assunzioni fatte senza dimostrazioni sono chiamate assiomi , senza distinguere tra postulati e nozioni comuni. Ma Hilbert si spinse oltre.

Sfruttò l’isomorfismo, ossia l’equivalenza strutturale, per studiare l’indipendenza di alcuni assiomi dal resto. Frege, fondatore del logicismo, polemizzò con Hilbert. Infatti per Frege, come per Kant, la geometria è sintetica a priori, perché basata sull’intuizione pura di spazio e non analitica, ossia dimostrabile solo con la logica.

Hilbert rispose in una lettera a Frege sostenendo che ogni teoria è solo una impalcatura o uno schema di concetti insieme con le loro relazioni reciproche necessarie e che ogni elemento di base potesse essere concepito in qualsiasi modo si desiderasse.

Quindi per Hilbert, come per Quine nella logica, non è fondamentale che esista un quark , ma che il cubo di 2 quark sia un cubo di 8 quark (cubici). Sembrava dunque che un terremoto si fosse scagliato sulle ormai fragili fondamenta della matematica. Per cui si decise di definire i sistemi formali, ossia un sistema assiomatico con un alfabeto, una grammatica, degli assiomi e delle regole di deducibilità. Le principali proprietà di un sistema formale erano la consistenza (non contiene formule contraddittorie), la completezza ( è possibile dimostrare ogni formula dimostrabile o la sua negazione) e la decidibilità (ossia posso mostrare se un enunciato è vero o falso). Hilbert riteneva dunque che la matematica fosse pura creazione. Il suo sogno era quello di armonizzare la logica e la matematica in una collezione di sistemi formali.

Ma nel 1931 Kurt Godel, diede una dimostrazione di come un sistema formale non contraddittorio, che comprenda almeno l’aritmetica, non può dimostrare la completezza dall’interno dei suoi assiomi. La questione dei fondamenti della matematica tornò in auge e riprese vigore la voce dei platonisti realisti per la quale la matematica esiste indipendentemente da noi.

Già prima dei cruciali teoremi di Godel, si incominciò a parlare di metamatematica, cioè di teorie che studino il funzionamento della matematica superandola. Come ha mostrato Alfred Tarski nel 1936, con il teorema di indefinibilità, la verità in un sistema formale sufficientemente potente non può essere definita all’interno del sistema stesso. Pertanto ogni metalinguaggio capace di esprimere la semantica di un linguaggio formale deve avere una potenza espressiva maggiore. In un metalinguaggio infatti devono essere presenti nozioni primitive, assiomi e regole che sono assenti nel linguaggio formale e ci sono teoremi dimostrabili nel metalinguaggio che non sono dimostrabili nel linguaggio formale.

Per questo oggi il sogno di Hilbert è tramontato e il concetto di verità dei fondamenti è scomparso dal linguaggio matematico e geometrico. In ogni caso si continua a fare matematica nonostante esistano opinioni discordanti sulla loro natura ontologica più profonda.

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